📖 มาเรียนกันก่อน — ค.ร.น. (ตัวคูณร่วมน้อย)
1ค.ร.น. คืออะไร
ค.ร.น. = ตัวคูณร่วมน้อย (ภาษาอังกฤษ: Least Common Multiple · ย่อ LCM) = จำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยจำนวนที่กำหนดให้ได้ลงตัวทุกตัว
2วิธีที่ 1 — แยกตัวประกอบ
ขั้น 1: แยกตัวประกอบเฉพาะของแต่ละจำนวน · ขั้น 2: เลือกตัวประกอบเฉพาะที่ ซ้ำกัน (เอาตัวที่มีจำนวนมากสุด) · ขั้น 3: รวมกับตัวที่ ไม่ซ้ำ · ขั้น 4: คูณทั้งหมด = ค.ร.น.
★ตัวอย่างครูทำให้ดู — หา ค.ร.น. ของ 6, 12, 15
วิธีแยกตัวประกอบ:6 = 2 × 3
12 = 2 × 2 × 3
15 = 3 × 5
→ ค.ร.น. = 2 × 2 × 3 × 5 =
60 (เอา 2 สองตัวจาก 12 · 3 หนึ่งตัว · 5 หนึ่งตัว)
วิธีตั้งหารสั้น: หารด้วยจำนวนเฉพาะที่หารได้อย่างน้อย 1 ตัว ไปเรื่อย ๆ จนเหลือ 1 หมด แล้วคูณตัวหารทั้งหมด
2) 6, 12, 15 → 3) 3, 6, 15 → 2) 1, 2, 5 → 5) 1, 1, 5 → 1,1,1
ค.ร.น. = 2 × 3 × 2 × 5 = 60
⭐จำไว้! โจทย์ปัญหา — เมื่อไหร่ใช้ ค.ร.น.?
คำสัญญาณในโจทย์ → ใช้ ค.ร.น.:
• "พร้อมกัน" (ออกเดินทางพร้อมกัน, ตีพร้อมกัน)
• "กี่วัน/กี่ชั่วโมง" ถึงจะมาพบกันอีก
• "วัฏจักร/รอบ" (ดาวเคราะห์โคจรรอบ, รถออกทุก N นาที)
• "น้อยที่สุดที่หารลงตัว" ทั้งหมด
เทียบกับ ห.ร.ม. (บทถัดไป):
• ห.ร.ม. → โจทย์ "แบ่งเท่าๆ กัน" / "ชิ้นใหญ่ที่สุด" / "พอดีทุกอัน"
• ค.ร.น. → โจทย์ "มาพร้อมกัน" / "วนรอบ" / "น้อยสุดที่หารลงตัว"
✏️ แบบฝึกความเก่ง · 12 ข้อจากหนังสือ · หา ค.ร.น. เองก่อน แล้วกดดูวิธี
หา ค.ร.น.
ข้อ 1จงหา ค.ร.น. ของ 14, 21, 84
✅ ค.ร.น. = 8414 = 2 × 7
21 = 3 × 7
84 = 2 × 2 × 3 × 7
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 84
หา ค.ร.น.
ข้อ 2จงหา ค.ร.น. ของ 15, 25, 70
✅ ค.ร.น. = 105015 = 3 × 5
25 = 5 × 5
70 = 2 × 5 × 7
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 1050
หา ค.ร.น.
ข้อ 3จงหา ค.ร.น. ของ 12, 21
✅ ค.ร.น. = 8412 = 2 × 2 × 3
21 = 3 × 7
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 84
หา ค.ร.น.
ข้อ 4จงหา ค.ร.น. ของ 21, 35
✅ ค.ร.น. = 10521 = 3 × 7
35 = 5 × 7
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 105
หา ค.ร.น.
ข้อ 5จงหา ค.ร.น. ของ 15, 18
✅ ค.ร.น. = 9015 = 3 × 5
18 = 2 × 3 × 3
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 90
หา ค.ร.น.
ข้อ 6จงหา ค.ร.น. ของ 16, 40
✅ ค.ร.น. = 8016 = 2 × 2 × 2 × 2
40 = 2 × 2 × 2 × 5
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 80
หา ค.ร.น.
ข้อ 7จงหา ค.ร.น. ของ 8, 10, 12
✅ ค.ร.น. = 1208 = 2 × 2 × 2
10 = 2 × 5
12 = 2 × 2 × 3
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 120
หา ค.ร.น.
ข้อ 8จงหา ค.ร.น. ของ 10, 15, 20
✅ ค.ร.น. = 6010 = 2 × 5
15 = 3 × 5
20 = 2 × 2 × 5
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 60
หา ค.ร.น.
ข้อ 9จงหา ค.ร.น. ของ 12, 20, 24
✅ ค.ร.น. = 12012 = 2 × 2 × 3
20 = 2 × 2 × 5
24 = 2 × 2 × 2 × 3
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 120
หา ค.ร.น.
ข้อ 10จงหา ค.ร.น. ของ 15, 20, 30
✅ ค.ร.น. = 6015 = 3 × 5
20 = 2 × 2 × 5
30 = 2 × 3 × 5
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 60
โจทย์ปัญหา ค.ร.น.
ข้อ 11นาฬิกา 3 เรือน ตีทุก 9, 12 และ 18 นาที ถ้าตีพร้อมกันครั้งแรกเวลา 06.00 น. ในช่วง 06.00–18.00 น. จะตีพร้อมกันทั้งหมดกี่ครั้ง
✅ ตีพร้อมกัน 21 ครั้งหาช่วงเวลาที่ตีพร้อมกัน = ค.ร.น. ของ 9, 12, 18 = 36 นาที (ตีพร้อมกันทุก 36 นาที)
ช่วง 06.00–18.00 น. = 12 ชั่วโมง = 720 นาที
720 ÷ 36 = 20 ช่วง · นับครั้งแรก (06.00) ด้วย → 20 + 1 = 21 ครั้ง
โจทย์ปัญหา ค.ร.น.
ข้อ 12จัดนักเรียนกลุ่มละ 15 คน ก็ลงตัว · กลุ่มละ 18 คน ก็ลงตัว · กลุ่มละ 20 คน ก็ลงตัว จงหาจำนวนนักเรียนที่น้อยที่สุด
✅ นักเรียนน้อยที่สุด 180 คนจำนวนที่หารด้วย 15, 18, 20 ลงตัวพอดี และน้อยที่สุด = ค.ร.น. ของ 15, 18, 20
15 = 3×5 · 18 = 2×3×3 · 20 = 2×2×5 → ค.ร.น. = 2×2×3×3×5 = 180 คน
📝 การบ้าน (3 ต.ค. 69 · 14 ข้อจากหนังสือ) · ทำลงสมุดก่อน แล้วกดดูเฉลย
หา ค.ร.น.
ข้อ 1จงหา ค.ร.น. ของ 6, 8, 15
✅ ค.ร.น. = 1206 = 2 × 3
8 = 2 × 2 × 2
15 = 3 × 5
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 120
หา ค.ร.น.
ข้อ 2จงหา ค.ร.น. ของ 9, 12, 18
✅ ค.ร.น. = 369 = 3 × 3
12 = 2 × 2 × 3
18 = 2 × 3 × 3
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 36
หา ค.ร.น.
ข้อ 3จงหา ค.ร.น. ของ 14, 21, 28
✅ ค.ร.น. = 8414 = 2 × 7
21 = 3 × 7
28 = 2 × 2 × 7
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 84
หา ค.ร.น.
ข้อ 4จงหา ค.ร.น. ของ 16, 24, 36
✅ ค.ร.น. = 14416 = 2 × 2 × 2 × 2
24 = 2 × 2 × 2 × 3
36 = 2 × 2 × 3 × 3
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 144
หา ค.ร.น.
ข้อ 5จงหา ค.ร.น. ของ 18, 27, 30
✅ ค.ร.น. = 27018 = 2 × 3 × 3
27 = 3 × 3 × 3
30 = 2 × 3 × 5
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 270
หา ค.ร.น.
ข้อ 6จงหา ค.ร.น. ของ 20, 25, 40
✅ ค.ร.น. = 20020 = 2 × 2 × 5
25 = 5 × 5
40 = 2 × 2 × 2 × 5
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 200
หา ค.ร.น.
ข้อ 7จงหา ค.ร.น. ของ 22, 33, 44
✅ ค.ร.น. = 13222 = 2 × 11
33 = 3 × 11
44 = 2 × 2 × 11
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 132
หา ค.ร.น.
ข้อ 8จงหา ค.ร.น. ของ 24, 30, 45
✅ ค.ร.น. = 36024 = 2 × 2 × 2 × 3
30 = 2 × 3 × 5
45 = 3 × 3 × 5
ค.ร.น. = เอาตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำมา (ตัวที่มีกำลังสูงสุด) คูณกับตัวที่ไม่ซ้ำ → 360
โจทย์ปัญหา ค.ร.น.
ข้อ 9ดาวหางดวงแรกโคจรมาใกล้โลกทุก 32 ปี ดวงที่สองทุก 56 ปี ถ้าปีนี้โคจรมาพร้อมกัน อีกกี่ปีข้างหน้าจะโคจรมาพร้อมกันอีกครั้ง
✅ อีก 224 ปีหาช่วงปีที่มาพร้อมกัน = ค.ร.น. ของ 32, 56
32 = 2×2×2×2×2 · 56 = 2×2×2×7 → ค.ร.น. = 2×2×2×2×2×7 = 224 ปี
โจทย์ปัญหา ค.ร.น.
ข้อ 10แจกถุงยังชีพ ทุก 10 คนได้หมวกเพิ่ม · ทุก 15 คนได้ร่มเพิ่ม · ทุก 25 คนได้กระเป๋าเพิ่ม คนสุดท้ายได้รับครบทั้ง 3 อย่างพอดี เป็นรอบที่ 7 จงหาว่ามีผู้รับแจกกี่คน
✅ 1,050 คนคนที่ได้ครบทั้ง 3 อย่าง = ทุก ๆ ค.ร.น. ของ 10, 15, 25 = 150 คน
ได้ครบเป็นรอบที่ 7 → คนสุดท้าย = 150 × 7 = 1,050 คน
โจทย์ปัญหา ค.ร.น.
ข้อ 11แม่ครัวทำข้าวหมกไก่ทุก 7 วัน · ข้าวคลุกกะปิทุก 12 วัน · ข้าวผัดอเมริกันทุก 28 วัน ถ้าวันที่ 1 กรกฎาคม ทำพร้อมกันทั้ง 3 อย่าง ครั้งถัดไปที่ทำพร้อมกันคือวันที่เท่าไร
✅ 23 กันยายนทำพร้อมกันทุก ค.ร.น. ของ 7, 12, 28 = 84 วัน
นับจาก 1 ก.ค. ไปอีก 84 วัน → ก.ค. เหลือ 30 วัน · ส.ค. 31 วัน · เหลือ 23 วันใน ก.ย.
ครั้งถัดไป = 23 กันยายน
โจทย์ปัญหา ค.ร.น.
ข้อ 12เอ บี ซี มีเงินเท่ากัน เอซื้อโดนัทชิ้นละ 12 บาทหมดพอดี · บีซื้อพิซซ่าชิ้นละ 20 บาทหมดพอดี · ซีซื้อเค้กชิ้นละ 30 บาทหมดพอดี ทั้งสามซื้อขนมรวมกันได้อย่างน้อยที่สุดกี่ชิ้น
✅ รวม 10 ชิ้นเงินแต่ละคน (เท่ากัน) ต้องหารด้วย 12, 20, 30 ลงตัว และน้อยสุด = ค.ร.น. = 60 บาท
เอ: 60÷12 = 5 ชิ้น · บี: 60÷20 = 3 ชิ้น · ซี: 60÷30 = 2 ชิ้น
รวม = 5 + 3 + 2 = 10 ชิ้น
โจทย์ปัญหา ค.ร.น.
ข้อ 13รถประจำทางออกทุก 8 นาที · รถปรับอากาศทุก 15 นาที · รถตู้ทุก 12 นาที ปล่อยพร้อมกันเวลา 5.00 น. และเที่ยวสุดท้าย 21.00 น. ในวันหนึ่งจะปล่อยรถทั้ง 3 ชนิดพร้อมกันกี่เที่ยว
✅ 9 เที่ยวปล่อยพร้อมกันทุก ค.ร.น. ของ 8, 15, 12 = 120 นาที = 2 ชั่วโมง
ช่วง 5.00–21.00 น. = 16 ชั่วโมง → 16 ÷ 2 = 8 ช่วง · นับเที่ยวแรกด้วย → 8 + 1 = 9 เที่ยว
โจทย์ปัญหา ค.ร.น.
ข้อ 14วางท่อระบายน้ำ 2 ข้างถนน บริษัท ก ท่อยาว 80 ซม. · บริษัท ข ท่อยาว 105 ซม. · บริษัท ค ท่อยาว 110 ซม. เรียงต่อกันแล้วสิ้นสุดถนนพอดี ถ้าบริษัท ข ได้งาน จะใช้ท่ออย่างน้อยกี่ท่อ
✅ 352 ท่อความยาวถนนที่ลงตัวกับท่อทั้ง 3 ขนาด = ค.ร.น. ของ 80, 105, 110 = 18,480 ซม.
บริษัท ข ท่อ 105 ซม. → ต่อข้างละ 18,480 ÷ 105 = 176 ท่อ
ถนน 2 ข้าง → 176 × 2 = 352 ท่อ