📐 มาเรียนกันก่อน — พื้นที่ประยุกต์ (บวก–ลบพื้นที่)
โจทย์พื้นที่ประยุกต์ คือการหาพื้นที่ของรูปประกอบ หรือส่วนที่แรเงา โดยใช้การบวกพื้นที่ย่อย ๆ เข้าด้วยกัน หรือเอาพื้นที่รูปใหญ่ลบพื้นที่ส่วนที่ถูกเจาะออก
1ทฤษฎีบทการเกิน (ส่วนแรเงา)
เมื่อมีรูปเล็กฝังอยู่ในรูปใหญ่ พื้นที่ส่วนแรเงา = พื้นที่รูปใหญ่ − พื้นที่รูปที่ฝังอยู่
ถ้าเป็นรูปประกอบหลายชิ้น: พื้นที่รวม = พื้นที่ชิ้นที่ 1 + ชิ้นที่ 2 + ชิ้นที่ 3 + …
2ทบทวนสูตรพื้นที่ที่ต้องใช้
| รูปทรง | พื้นที่ |
|---|
| สามเหลี่ยม | 1/2 × ฐาน × สูง |
| สี่เหลี่ยมผืนผ้า/จัตุรัส | กว้าง × ยาว |
| สี่เหลี่ยมคางหมู | 1/2 × (ด้านบน + ด้านล่าง) × สูง |
| ขนมเปียกปูน/รูปว่าว | 1/2 × เส้นทแยงมุม₁ × เส้นทแยงมุม₂ |
| วงกลม | π × r² (เส้นรอบวง = 2πr) |
| ครึ่งวงกลม | 1/2 × π × r² |
⭐ เลือกค่า π: ใช้ 22/7 เมื่อ r เป็นทวีคูณของ 7 · ใช้ 3.14 เมื่อโจทย์กำหนด · เคล็ดลับ: ครึ่งวงกลม 2 ใบที่รัศมีเท่ากัน = วงกลมเต็ม 1 ใบ
💪 แบบฝึกความเก่ง (16 ม.ค. 70)
ข้อ 1. จากรูป ส่วนที่ระบายสีมีพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร (กำหนด π = 3.14)
1. 54 ตร.ซม.
2. 86 ตร.ซม.
3. 314 ตร.ซม.
4. 400 ตร.ซม.
เฉลย: ข้อ 2 — 86 ตร.ซม.- พื้นที่สี่เหลี่ยม = 20 × 20 = 400 ตร.ซม.
- รัศมีวงกลม r = 20 ÷ 2 = 10 ซม. → พื้นที่วงกลม = 3.14 × 10² = 314 ตร.ซม.
- ส่วนแรเงา = 400 − 314 = 86 ตร.ซม.
ข้อ 2. ข้อใดมีพื้นที่มากที่สุด
1. สามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉาก ด้านประกอบมุมฉากยาวด้านละ 12 ซม.
2. สี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านยาว 8.5 ซม.
3. สี่เหลี่ยมคางหมู ระยะห่างด้านขนาน 10 ซม. ผลบวกด้านขนาน 16 ซม.
4. ขนมเปียกปูน เส้นรอบรูป 32 ซม. สูง 9 ซม.
เฉลย: ข้อ 3 — คางหมู 80 ตร.ซม. (ใหญ่สุด)- ข้อ 1: 1/2 × 12 × 12 = 72
- ข้อ 2: 8.5 × 8.5 = 72.25
- ข้อ 3: 1/2 × 16 × 10 = 80 ✓ ใหญ่สุด
- ข้อ 4: ด้าน = 32 ÷ 4 = 8 → 8 × 9 = 72
ข้อ 3. ข้อใดไม่ถูกต้อง
1. รูปสามเหลี่ยมมุมป้านมีมุมแหลม 3 มุม
2. มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน 2 มุม
3. สามเหลี่ยมด้านเท่ามีแกนสมมาตร 3 แกน
4. ส่วนสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่าแบ่งครึ่งมุมยอดเสมอ
เฉลย: ข้อ 1 ไม่ถูกต้อง- สามเหลี่ยมมุมป้าน มีมุมป้าน 1 มุม + มุมแหลม 2 มุม (ไม่ใช่ 3 มุมแหลม)
- ข้อ 2, 3, 4 เป็นจริงทั้งหมด
ข้อ 4. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นรอบรูป 50 ซม. ด้านประกอบมุมยอดยาวด้านละ 16 ซม. สูง 10 ซม. มีพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร
1. 90 ตร.ซม.
2. 92 ตร.ซม.
3. 93 ตร.ซม.
4. 95 ตร.ซม.
เฉลย: ข้อ 1 — 90 ตร.ซม.- ด้านเท่ากัน 2 ด้าน = 16 + 16 = 32 ซม. → ฐาน = 50 − 32 = 18 ซม.
- พื้นที่ = 1/2 × ฐาน × สูง = 1/2 × 18 × 10 = 90 ตร.ซม.
ข้อ 5. ห้องประชุมกว้าง 10 ม. ยาว 15 ม. ปูกระเบื้องสามเหลี่ยมที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 15 ซม. และ 20 ซม. ต้องใช้กระเบื้องกี่แผ่น
1. 3,500 แผ่น
2. 5,000 แผ่น
3. 10,000 แผ่น
4. 15,000 แผ่น
เฉลย: ข้อ 3 — 10,000 แผ่น- แปลงหน่วย: 10 ม. = 1,000 ซม. · 15 ม. = 1,500 ซม.
- พื้นที่ห้อง = 1,000 × 1,500 = 1,500,000 ตร.ซม.
- กระเบื้อง 1 แผ่น = 1/2 × 15 × 20 = 150 ตร.ซม.
- จำนวน = 1,500,000 ÷ 150 = 10,000 แผ่น
ข้อ 6. กระดาษสามเหลี่ยมฐานยาว 75 ซม. สูงเป็น 40% ของฐาน มีพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร
1. 1,120 ตร.ซม.
2. 1,125 ตร.ซม.
3. 1,135 ตร.ซม.
4. 1,150 ตร.ซม.
เฉลย: ข้อ 2 — 1,125 ตร.ซม.- สูง = 40% × 75 = 0.4 × 75 = 30 ซม.
- พื้นที่ = 1/2 × 75 × 30 = 1,125 ตร.ซม.
ข้อ 7. สามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉาก พื้นที่ 512 ตร.ซม. ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 40 ซม. มีเส้นรอบรูปกี่เซนติเมตร
1. 32 ซม.
2. 40 ซม.
3. 85 ซม.
4. 104 ซม.
เฉลย: ข้อ 4 — 104 เซนติเมตร- สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ขาทั้งสองเท่ากัน · พื้นที่ = 1/2 × ขา² = 512 → ขา² = 1,024 → ขา = 32 ซม.
- ด้านตรงข้ามมุมฉาก (ฐาน) = 40 ซม. (โจทย์ให้)
- เส้นรอบรูป = 32 + 32 + 40 = 104 ซม.
ข้อ 8. จากรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก CD (เส้นสูงจากมุมฉากลงสู่ด้านตรงข้าม) ยาวกี่เซนติเมตร
1. 8.5 ซม.
2. 9.25 ซม.
3. 9.75 ซม.
4. 10 ซม.
⚠️ ผู้ปกครองกรุณาตรวจเทียบเล่ม — อ่านตำแหน่ง/ค่ามุม D จากภาพสแกนไม่ชัด
วิธีที่ใช้: เส้นสูงจากมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก · CD = (ขา × ขา) ÷ ด้านตรงข้ามมุมฉาก (แทนค่าตามตัวเลขจริงในเล่ม)
ข้อ 9. จากรูป ส่วนที่ระบายสีมีพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร (กำหนด π = 22/7)
1. 196 ตร.ซม.
2. 154 ตร.ซม.
3. 70 ตร.ซม.
4. 42 ตร.ซม.
เฉลย: ข้อ 4 — 42 ตร.ซม.- พื้นที่สี่เหลี่ยม = 14 × 14 = 196 ตร.ซม.
- ครึ่งวงกลม 2 ใบ = วงกลมเต็ม 1 ใบ · r = 7 → พื้นที่ = 22/7 × 49 = 154 ตร.ซม.
- ส่วนแรเงา = 196 − 154 = 42 ตร.ซม.
📝 การบ้าน (16 ม.ค. 70) · ทำลงสมุดก่อน แล้วกดดูเฉลย + ฟังครู (ทีละข้อ)
ข้อ 1กระดาษทรงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 22 ซม. กลิ้ง 5 รอบ ได้ระยะทางกี่เซนติเมตร? (π=3.14)
1. 334.4 ซม. 2. 343.5 ซม. 3. 345.4 ซม. 4. 354.4 ซม.
✅ เฉลย: ข้อ 3 — 345.4 ซม.กลิ้ง 1 รอบ = เส้นรอบวง = π×d = 3.14×22 = 69.08 ซม.
5 รอบ = 5×69.08 = 345.4 ซม. ✓
ข้อ 2ข้อใดมีพื้นที่มากที่สุด (หน่วย = ตร.วา)?
1. คางหมู ฐานรวม 24 วา สูง 10 วา
2. สามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉาก ด้านมุมฉาก 16 วา
3. จัตุรัส เส้นทแยงมุม 16 วา
4. วงกลม เส้นรอบวง 44 วา
✅ เฉลย: ข้อ 4 — วงกลม 154 ตร.วาข้อ 1 คางหมู = ½(24)×10 = 120 · ข้อ 2 สามเหลี่ยม = ½×16×16 = 128
ข้อ 3 จัตุรัสทแยงมุม 16 = ½×16×16 = 128
ข้อ 4 วงกลม r=7: (22/7)×49 = 154 ตร.วา ใหญ่สุด ✓
ข้อ 3รูปสี่เหลี่ยมข้อใดมีพื้นที่มากที่สุด?
1. ขนมเปียกปูน ทแยงมุม 8 และ 3.6 หน่วย
2. รูปว่าว ทแยงมุม 5 และ 4 หน่วย
3. ขนมเปียกปูน ทแยงมุม 5.5 และ 6 หน่วย
4. คางหมู ฐาน 2.5+6 สูง 3 หน่วย
✅ เฉลย: ข้อ 3 — 16.5 ตร.หน่วยข้อ 1: ½×8×3.6 = 14.4 · ข้อ 2: ½×5×4 = 10
ข้อ 3: ½×5.5×6 = 16.5 ใหญ่สุด · ข้อ 4: ½(2.5+6)×3 = 12.75
∴ ข้อ 3 พื้นที่ = 16.5 ตร.หน่วย ✓
ข้อ 4กระดาษจัตุรัสด้านละ 10 ซม. เจาะรูตรงกลางเป็นจัตุรัสด้านละ 4 ซม. พื้นที่ที่เหลือเป็นเศษส่วนของทั้งแผ่นเท่าใด?
1. 1/6 2. 1/25 3. 21/25 4. 25/21
✅ เฉลย: ข้อ 3 — 21/25ทั้งแผ่น = 10² = 100 · รู = 4² = 16
เหลือ = 100−16 = 84 → เศษส่วน = 84/100 = 21/25 ✓
ข้อ 5บริเวณแรเงา (กากบาท) มีพื้นที่เท่าใด?
1. 0.0126 ตร.ม. 2. 0.063 ตร.ม. 3. 0.1260 ตร.ม. 4. 1.260 ตร.ม.
✅ เฉลย: ข้อ 1 — 0.0126 ตร.เมตรสี่เหลี่ยมนอก = 13×12 = 156 ตร.ซม.
ช่องโล่ง 2 ช่อง = 2×(3×5) = 30 ตร.ซม.
กากบาท = 156−30 = 126 ตร.ซม. = 0.0126 ตร.เมตร ✓
ข้อ 6AB เป็นด้าน/เส้นผ่านศูนย์กลางร่วม เรียงพื้นที่จากน้อยไปมากของ สามเหลี่ยมด้านเท่า · วงกลม · จัตุรัส ข้อใดถูก?
1. วงกลม · จัตุรัส · สามเหลี่ยมด้านเท่า
2. จัตุรัส · สามเหลี่ยมด้านเท่า · วงกลม
3. สามเหลี่ยมด้านเท่า · วงกลม · จัตุรัส
4. จัตุรัส · วงกลม · สามเหลี่ยมด้านเท่า
✅ เฉลย: ข้อ 3 — สามเหลี่ยม < วงกลม < จัตุรัสให้ AB = 1: สามเหลี่ยม = √3/4 ≈ 0.433
วงกลม r=½: π/4 ≈ 0.785 · จัตุรัสด้าน 1 = 1
∴ สามเหลี่ยม < วงกลม < จัตุรัส ✓