📖 มาเรียนกันก่อน — เส้นขนานและมุม
บทนี้เรียนเรื่องมุมที่เกิดจากเส้นตรงตัดกัน ตั้งแต่มุมตรง มุมภายในสามเหลี่ยม ไปจนถึงกฎเส้นขนาน เข้าใจกฎแล้วหาค่ามุมได้ทุกข้อ!
1มุมตรง & มุมประชิด
มุมตรง = 180° คือมุมบนเส้นตรง
มุมประชิดบนเส้นตรง: ∠AOC + ∠BOC = 180°
💡 X + α = 180° เสมอ ถ้ารู้ α หา X = 180° − α
2เส้นตรงสองเส้นตัดกัน
∠1 = ∠3 (มุมตรงข้าม) · ∠2 = ∠4 (มุมตรงข้าม) · ∠1 + ∠2 = 180° (มุมประชิด)
💡 มุมตรงข้ามกันเท่ากัน (Vertical Angles) ใช้บ่อยมากในโจทย์เส้นขนาน
3มุมภายใน-ภายนอกสามเหลี่ยม
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° (มุมภายใน 3 มุมรวมกัน)
มุมภายนอก ∠4 = ∠1 + ∠2 (มุมในสองมุมที่ไม่ติดกัน)
💡 ∠1+∠2+∠3=180° · มุมภายนอก ∠4=∠1+∠2 (มุมนอก=มุมในตรงข้ามรวมกัน)
4สามเหลี่ยมหน้าจั่ว
สามเหลี่ยมหน้าจั่ว: ด้านสองด้านเท่ากัน → มุมฐานสองมุมเท่ากัน
∠B = ∠C (มุมฐาน)
💡 AB = AC → ∠B = ∠C · ถ้ารู้มุมยอด ∠A หามุมฐาน = (180°−∠A)÷2
★เส้นขนาน AB//CD กับเส้นตัดขวาง EF
กฎ 3 ข้อสำคัญ:
1. มุมแย้งภายใน (Z-shape): ∠3=∠5, ∠4=∠6
2. มุมสัมพันธ์ / corresponding (F-shape): ∠1=∠5, ∠2=∠6, ∠3=∠7, ∠4=∠8
3. มุมภายในข้างเดียว (C-shape): ∠3+∠6=180°, ∠4+∠5=180°
💡 Z-shape → แย้งภายในเท่ากัน · F-shape → สัมพันธ์เท่ากัน · C-shape → รวม 180°
★ ตัวอย่างครูทำให้ดู
ตัวอย่าง 1เส้นตรง AOB มีรังสี OC ทำมุม ∠BOC = 130° จงหา X = ∠AOC
✅ คำตอบ X = 50°∠AOC + ∠BOC = 180° (มุมบนเส้นตรง)
X + 130° = 180°
X = 180° − 130° = 50°
ตัวอย่าง 2เส้นตรงสองเส้นตัดกัน ∠1 = 65° จงหา X (มุมตรงข้าม) และ Y (มุมประชิด)
✅ X = 65°, Y = 115°X = มุมตรงข้ามกับ 65° → X = 65°
Y = มุมประชิดกับ 65° → Y = 180° − 65° = 115°
ตัวอย่าง 3สามเหลี่ยม ABC มี ∠A = 70°, ∠B = 72° จงหา ∠C = X
✅ X = 38°∠A + ∠B + ∠C = 180°
70° + 72° + X = 180°
X = 180° − 70° − 72° = 38°
ตัวอย่าง 4สามเหลี่ยม ABC มี ∠A = 50°, ∠B = 65° ต่อ BC ถึง D หามุมภายนอก X = ∠ACD
✅ X = 115°มุมภายนอก = ผลรวมมุมในที่ไม่ติดกัน 2 มุม
X = ∠A + ∠B = 50° + 65° = 115°
ตัวอย่าง 5AB//CD เส้นขวาง EF ตัดผ่าน ∠3 = 65° จงหา X = ∠5
✅ X = 65°∠3 และ ∠5 เป็นมุมแย้งภายใน (Alternate Interior Angles, รูป Z)
AB//CD ดังนั้น ∠3 = ∠5
X = 65°
ตัวอย่าง 6AB//CD ∠4 = 110° จงหา X = ∠5 (มุมภายในข้างเดียวกัน)
✅ X = 70°∠4 และ ∠5 เป็นมุมภายในข้างเดียวกัน (Co-interior, รูป C)
∠4 + ∠5 = 180°
110° + X = 180°
X = 180° − 110° = 70°
✏️ แบบฝึกความเก่ง · 6 ข้อจากหนังสือ · ลองทำเองก่อน แล้วกดดูเฉลยทีละขั้น + ฟังครู
ข้อ 1AB//CD เส้นขวาง EF ตัดผ่าน มุมหนึ่งที่จุดตัด AB = 65° จงหา X และ Y
✅ X = 115°, Y = 65°X = มุมประชิดกับ 65° (บนเส้น AB เดียวกัน) → X = 180° − 65° = 115°
Y = มุมสัมพันธ์ (corresponding) กับ 65° ที่ CD → Y = 65°
ข้อ 2AB//CD มุมหนึ่งที่ AB = 60° จงหา X (มุมแย้งภายใน ที่ CD) และ Y (มุมข้างเดียวกัน)
✅ X = 60°, Y = 120°X = มุมแย้งภายใน (Z-shape) กับ 60° → X = 60°
Y = มุมข้างเดียวกัน → 60° + Y = 180° → Y = 120°
ข้อ 3สามเหลี่ยม ABC มี ∠A = 70°, ∠B = 72° ต่อ BC ถึง D จงหา X = ∠C และ Y = ∠ACD
✅ X = 38°, Y = 142°X = 180° − 70° − 72° = 38°
Y = มุมภายนอก = 180° − X = 180° − 38° = 142°
ข้อ 4AB//CD มุมที่ AB = 75° จงหา X (มุมสัมพันธ์) และ Y (มุมข้างเดียวกัน)
✅ X = 75°, Y = 105°X = มุมสัมพันธ์ (F-shape) = 75°
Y = มุมข้างเดียวกัน → 75° + Y = 180° → Y = 105°
ข้อ 5AB//CD จุด E อยู่ระหว่างเส้นคู่ขนาน รังสี EA ทำมุม 70° กับ AB รังสี EC ทำมุม 30° กับ CD จงหา X = ∠AEC และ Y = ∠BEC
✅ X = 100°, Y = 80°ลากเส้น EG//AB ผ่าน E (เส้นขนานกับ AB และ CD)
มุมที่ G ด้านบน = 70° (มุมแย้งภายใน)
มุมที่ G ด้านล่าง = 30° (มุมแย้งภายใน)
X = 70° + 30° = 100°
Y = 180° − X = 80°
ข้อ 6AB//CD มุมที่ AB = 99° จงหา X (มุมประชิด) และ Y (มุมแย้งภายใน)
✅ X = 81°, Y = 99°X = มุมประชิดกับ 99° → X = 180° − 99° = 81°
Y = มุมแย้งภายใน (Z) กับ 99° → Y = 99°
📝 การบ้าน (21 มิ.ย. 69 · 8 ข้อ) · ทำลงสมุดก่อน แล้วกดดูเฉลย + ฟังครู (ทีละข้อ)
ข้อ 1AB//CD มุมภายในข้างเดียวกัน = 5a° และ 10a° จงหา a
✅ a = 12°5a + 10a = 180
15a = 180
a = 12°
ข้อ 2AB//CD ∠1 = 110° จงหา ∠2 (มุมภายในข้างเดียวกัน)
✅ ∠2 = 70°∠1 + ∠2 = 180° → 110° + ∠2 = 180°
∠2 = 70°
ข้อ 3เส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมหนึ่ง = 65° จงหา X (มุมประชิด) และ Y (มุมตรงข้าม)
✅ X = 115°, Y = 65°X = 180° − 65° = 115°
Y = มุมตรงข้าม = 65°
ข้อ 4สามเหลี่ยม ∠A = 70°, ∠B = 45° จงหา X = ∠C
✅ X = 65°X = 180° − 70° − 45° = 65°
ข้อ 5สามเหลี่ยม ∠A = 50°, ∠B = 65° ต่อ BC ถึง D จงหา X = ∠ACD (มุมภายนอก)
✅ X = 115°X = ∠A + ∠B = 50° + 65° = 115°
ข้อ 6AB//CD มุมภายในข้างเดียวกัน = 3X° และ 120° จงหา X
✅ X = 20°3X + 120° = 180°
3X = 60°
X = 20°
ข้อ 7AB//CD จุด E ระหว่างเส้น รังสีขึ้น AB ทำมุม 70° รังสีลง CD ทำมุม 30° จงหา X = มุมที่จุด E
✅ X = 100°ลากเส้นผ่าน E//AB → X = 70° + 30° = 100°
ข้อ 8AB//CD มุมภายในข้างเดียวกัน = (3X+18)° และ 78° จงหา X
✅ X = 28°(3X+18) + 78 = 180
3X + 96 = 180
3X = 84
X = 28°