SKILL Learning · M-14 เวกเตอร์เบื้องต้น

เวกเตอร์คืออะไร?

เวกเตอร์ (Vector)

มีทั้ง ขนาด และ ทิศทาง
เขียน: →a หรือ a (ตัวหนา)

สเกลาร์ (Scalar)

มีแค่ ขนาด อย่างเดียว
เช่น อุณหภูมิ ระยะทาง มวล

สูตรสำคัญ

ขนาด: |→a| = √(x² + y²)
บวก: →a + →b = (a₁+b₁, a₂+b₂)
ลบ: →a − →b = (a₁−b₁, a₂−b₂)
คูณสเกลาร์: k→a = (ka₁, ka₂)
ดอตโพรดักต์: →a · →b = a₁b₁ + a₂b₂ = |→a||→b|cos θ

ตัวอย่างครูสอน

→a = (3, 4) · →b = (1, −2)

ตัวอย่างที่ 1 · บวก ลบ คูณสเกลาร์

→a + →b = (3+1, 4+(−2)) = (4, 2)

→a − →b = (3−1, 4−(−2)) = (2, 6)

2→a = (6, 8) · |→a| = √(9+16) = 5

ตัวอย่างที่ 2 · ดอตโพรดักต์ และมุมระหว่างเวกเตอร์

→a · →b = (3)(1) + (4)(−2) = 3 − 8 = −5

|→b| = √(1+4) = √5

cos θ = (→a·→b)/(|→a||→b|) = −5/(5√5) = −1/√5 → θ ≈ 116.6°

ตัวอย่างที่ 3 · เวกเตอร์ตั้งฉาก (Gifted)

→u = (2, k) และ →v = (3, −6) ตั้งฉากกัน จงหา k

→u ⊥ →v → →u · →v = 0

(2)(3) + k(−6) = 0

6 − 6k = 0 → k = 1

Mastery Check

Level 5 · Gifted

→a = (1, 2), →b = (3, 1) จงหา |→a + →b|² − |→a − →b|²

→a+→b = (4,3) → |→a+→b|² = 16+9 = 25

→a−→b = (−2,1) → |→a−→b|² = 4+1 = 5

25 − 5 = 20 (หมายเหตุ: = 4·→a·→b เสมอ!)

📌 สรุปสำหรับผู้ปกครอง

เวกเตอร์เป็นฐานของฟิสิกส์ค่ะ แรง ความเร็ว ความเร่ง ล้วนเป็นเวกเตอร์ทั้งนั้น ลูกที่เรียนเวกเตอร์ได้ดีจะเข้าใจฟิสิกส์ ม.ปลาย ได้ง่ายมากค่ะ จุดสำคัญที่ต้องจำ: ดอตโพรดักต์ = 0 หมายถึงตั้งฉากกัน ค่ะ