SKILL LEARNING · M-15

แคลคูลัสเบื้องต้น — อนุพันธ์และปริพันธ์

คณิตศาสตร์ม.5–ม.6 🔥 PAT1 ชอบออกd/dx · ∫
อนุพันธ์ (Differentiation)
ความหมาย: อนุพันธ์ = อัตราการเปลี่ยนแปลง = ความชันของกราฟ ณ จุดนั้น
f′(x) = limh→0 [f(x+h) − f(x)] / h
กฎกำลัง (Power Rule)
d/dx [xⁿ] = nxⁿ⁻¹
ค่าคงที่ (Constant)
d/dx [c] = 0
ผลรวม (Sum Rule)
d/dx [f+g] = f′+g′
ผลคูณ (Product Rule)
d/dx [fg] = f′g + fg′
ผลหาร (Quotient Rule)
d/dx [f/g] = (f′g−fg′)/g²
Chain Rule
d/dx [f(g(x))] = f′(g)·g′
ปริพันธ์ (Integration)
สูตรปริพันธ์พื้นฐาน
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C    (n ≠ −1)
∫ c dx = cx + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ 1x dx = ln|x| + C
ปริพันธ์จำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)   (F คือ antiderivative ของ f)
ตัวอย่างครูสอน
ตัวอย่างที่ 1 · หาอนุพันธ์
f(x) = 3x⁴ − 2x³ + 5x − 7
ใช้กฎกำลัง: d/dx[3x⁴] = 12x³
d/dx[−2x³] = −6x² · d/dx[5x] = 5 · d/dx[−7] = 0
f′(x) = 12x³ − 6x² + 5
ตัวอย่างที่ 2 · ปริพันธ์จำกัดเขต
∫₁³ (2x + 1) dx
∫(2x+1)dx = x² + x + C
= [x²+x]₁³ = (9+3) − (1+1)
= 12 − 2 = 10
ตัวอย่างที่ 3 · หาจุดสูงสุด-ต่ำสุด (Gifted)
f(x) = x³ − 3x² + 2 จงหาจุด critical และระบุสูงสุด/ต่ำสุด
f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x−2) = 0 → x = 0 หรือ x = 2
f″(x) = 6x − 6 · f″(0) = −6 < 0 → x=0 จุดสูงสุด
f″(2) = 6 > 0 → x=2 จุดต่ำสุด · f(0)=2, f(2)=−2
แบบฝึกหัด
L1 d/dx [x⁵] = ?
L2 f(x) = 4x³ + 2x → f′(x) = ?
L3 ∫ 3x² dx = ?
L3 ∫₀² 2x dx = ?
L4 f(x) = x² − 4x + 3 จุดต่ำสุดอยู่ที่ x = ?
Mastery Check
Level 5 · PAT1
หาพื้นที่ใต้กราฟ f(x) = x² ระหว่าง x=0 ถึง x=3
∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³
= 27/3 − 0
= 9 หน่วยสี่เหลี่ยม
📌 สรุปสำหรับผู้ปกครอง

แคลคูลัสเป็นคณิตศาสตร์ระดับสูงสุดในหลักสูตร ม.ปลายค่ะ เนื้อหาสอบ PAT1 และวิศวกรรม/วิทยาศาสตร์ล้วนต้องการแคลคูลัส จุดสำคัญคือ "กฎกำลัง" สำหรับอนุพันธ์ และ "บวกกำลัง หาร n+1" สำหรับปริพันธ์ค่ะ