หลักสูตร ‣ 🔢 คณิตศาสตร์ ป.5 ‣ จำนวนและพีชคณิต ‣ บทที่ 01
🔢 บทที่ 01 — ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
📘 จำนวนและพีชคณิต · ป.5
📋 ตัวชี้วัด: ค 1.1 ป.5 · หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนนับ และนำไปใช้แก้ปัญหา
ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
จำนวนและพีชคณิต · บทที่ 01
ยินดีต้อนรับสู่บทเรียนแรกของชั้น ป.5 จ้ะ วันนี้เราจะมาเรียนเรื่องพื้นฐานที่สำคัญมาก คือ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
ก่อนที่เราจะไปหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. เราต้องรู้จักคำว่า ตัวประกอบ และ จำนวนเฉพาะ เสียก่อน จากนั้นเราจะเรียนรู้วิธีการหา ห.ร.ม. ซึ่งก็คือตัวหารร่วมที่มากที่สุด และ ค.ร.น. คือผลคูณร่วมที่น้อยที่สุด โดยใช้วิธีการตั้งหารสั้น และสุดท้ายเราจะนำความรู้ไปประยุกต์ใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาในชีวิตประจำวันกันนะจ๊ะ
🔍 ๑. ตัวประกอบ และ จำนวนเฉพาะ
ตัวประกอบ ของจำนวนนับใดๆ คือ จำนวนนับที่หารจำนวนนั้นได้ลงตัวพอดี เช่น ตัวประกอบของ 6 คือ 1, 2, 3 และ 6 เพราะทุกตัวสามารถนำไปหาร 6 ได้ลงตัว
จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนนับที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวเท่านั้น คือ 1 และตัวมันเอง เช่น 2, 3, 5, 7, 11 (หมายเหตุ: 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เพราะมีตัวประกอบเพียงตัวเดียวคือ 1)
🧮 ๒. การแยกตัวประกอบเฉพาะ
การแยกตัวประกอบ คือการเขียนจำนวนนับในรูปการคูณของ จำนวนเฉพาะ เท่านั้น
วิธีที่นิยมและง่ายที่สุดคือ การตั้งหารสั้น โดยนำเฉพาะจำนวนเฉพาะ (เช่น 2, 3, 5, 7) มาเป็นตัวหาร ทำไปเรื่อยๆ จนกว่าผลลัพธ์สุดท้ายจะเป็น 1 หรือเป็นจำนวนเฉพาะ เช่น แยกตัวประกอบของ 12 จะได้ 12 = 2 × 2 × 3
⚖️ ๓. ห.ร.ม. — ความหมาย และวิธีหา
ห.ร.ม. (หารร่วมมาก) คือ จำนวนนับที่มากที่สุด ที่สามารถนำไปหารจำนวนที่กำหนดให้ทุกตัวได้ลงตัว
เราสามารถหา ห.ร.ม. ได้ 2 วิธีหลักๆ ในระดับนี้ คือ:
1) การแจกแจงตัวประกอบ: หาตัวประกอบของทุกจำนวน แล้วดูว่าตัวไหนซ้ำกันและมีค่ามากที่สุด
2) การตั้งหารสั้น: นำจำนวนที่โจทย์กำหนดมาตั้งหารสั้นพร้อมกัน โดยหาจำนวนเฉพาะที่สามารถ หารลงตัวได้ทุกจำนวน มาหารไปเรื่อยๆ จนกว่าจะไม่มีตัวไหนหารลงตัวพร้อมกันทุกตัวได้อีก จากนั้นนำตัวหารด้านหน้าทั้งหมดมาคูณกัน
🚀 ๔. ค.ร.น. — ความหมาย และวิธีหา
ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย) คือ จำนวนนับที่น้อยที่สุด ที่สามารถถูกหารด้วยจำนวนที่กำหนดให้ทุกตัวได้ลงตัว (หรือก็คือตัวคูณร่วมนั่นเอง)
วิธีหา ค.ร.น. ด้วย การตั้งหารสั้น จะคล้ายกับ ห.ร.ม. แต่มีข้อแตกต่างสำคัญคือ: เราสามารถหาจำนวนเฉพาะที่หารลงตัว อย่างน้อย 2 จำนวน (ถ้ามีมากกว่า 2 จำนวน) มาหารต่อได้ ตัวไหนหารไม่ลงตัวให้ดึงชักลงมา เมื่อหารต่อไม่ได้แล้ว ให้นำตัวหารด้านหน้าทั้งหมด และผลลัพธ์ด้านล่างสุดทั้งหมด มาคูณกันเป็นรูปตัว L
🧩 ๕. โจทย์ปัญหา: เลือกว่าใช้ ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น.
การแก้โจทย์ปัญหา เราต้องอ่านและวิเคราะห์คีย์เวิร์ดในประโยคให้ดี:
• ใช้ ห.ร.ม. เมื่อโจทย์ต้องการ แบ่งของ, จัดกลุ่ม, ตัดเชือก ให้ได้ขนาด เท่าๆ กัน และยาวที่สุด หรือมากที่สุด โดยไม่เหลือเศษ
• ใช้ ค.ร.น. เมื่อโจทย์เป็นเรื่องของ เวลา, การวิ่งรอบสนาม, นาฬิกาปลุก, รถบัสออก และต้องการรู้ว่าเหตุการณ์เหล่านั้นจะ เกิดพร้อมกันอีกครั้งเมื่อไร หรือสิ่งของที่เพิ่มขึ้นทีละเท่าๆ กันเพื่อให้ได้จำนวนน้อยที่สุด
🧮 ตัวอย่างที่ 1 — การหา ห.ร.ม. โดยวิธีตั้งหารสั้น
จงหา ห.ร.ม. (หารร่วมมาก) ของจำนวน 12 และ 18
ขั้น 1 — ตั้งหารสั้นและหาตัวหารนำ 12 และ 18 มาตั้งหารสั้น
เลขคู่ทั้งคู่ ใช้ แม่ 2 หาร
ขั้น 2 — ดำเนินการหารครั้งที่ 112 ÷ 2 = 6
18 ÷ 2 = 9
เหลือ 6 และ 9
ขั้น 3 — หาตัวหารสำหรับผลลัพธ์ใหม่6 และ 9 มีตัวร่วมคือ แม่ 3
จึงนำ 3 มาหารต่อ
ขั้น 4 — ดำเนินการหารครั้งที่ 26 ÷ 3 = 2
9 ÷ 3 = 3
เหลือ 2 และ 3
ขั้น 5 — สรุปหาค่า ห.ร.ม.นำตัวหารด้านหน้ามาคูณกัน
ห.ร.ม. = 2 × 3 = 6✅ ตอบ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6
🧮 ตัวอย่างที่ 2 — การหา ค.ร.น. โดยวิธีตั้งหารสั้น
จงหา ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย) ของจำนวน 15 และ 20
ขั้น 1 — ตั้งหารสั้นและหาตัวหารนำ 15 และ 20 มาตั้งหารสั้น
ลงท้ายด้วย 5 และ 0 ใช้ แม่ 5
ขั้น 2 — ดำเนินการหาร15 ÷ 5 = 3
20 ÷ 5 = 4
เหลือ 3 และ 4
ขั้น 3 — ตรวจสอบผลลัพธ์ว่าหารต่อได้หรือไม่3 และ 4 ไม่มีจำนวนเฉพาะใด
ที่สามารถหารทั้งสองตัวลงตัวได้อีก
ขั้น 4 — นำตัวเลขมาคูณเป็นรูปตัว Lค.ร.น. ต้องคูณรูปตัว L (ด้านหน้า + ด้านล่าง)
นำ 5 × 3 × 4
ขั้น 5 — คำนวณผลคูณและสรุปคำตอบ5 × 3 = 15
15 × 4 = 60✅ ตอบ ค.ร.น. ของ 15 และ 20 คือ 60
🧮 ตัวอย่างที่ 3 — การแก้โจทย์ปัญหา (ห.ร.ม.)
แม่ค้ามีขนมปังรสเนย 24 ชิ้น และรสช็อกโกแลต 36 ชิ้น ต้องการจัดใส่กล่อง กล่องละเท่าๆ กัน โดยไม่นำขนมปังทั้งสองรสมาปนกัน แม่ค้าจะจัดขนมปังได้มากที่สุดกล่องละกี่ชิ้น
ขั้น 1 — วิเคราะห์คีย์เวิร์ดของโจทย์คีย์เวิร์ด: "จัดใส่กล่องละเท่าๆ กัน" และ "มากที่สุด"
วิธีแก้: ใช้ ห.ร.ม.
ขั้น 2 — ตั้งหารสั้นเพื่อหา ห.ร.ม.นำ 24 และ 36 มาตั้งหาร
ใช้ แม่ 2 หาร
ขั้น 3 — หารครั้งที่ 124 ÷ 2 = 12
36 ÷ 2 = 18
ได้ 12 และ 18
ขั้น 4 — หารต่อด้วยแม่ 612 และ 18 มี 6 หารลงตัว (หรือใช้ 2 แล้วต่อด้วย 3)
หารด้วย 6 เหลือ 2 และ 3
ขั้น 5 — สรุปคำตอบห.ร.ม. = 2 × 6 = 12✅ ตอบ จัดขนมปังได้มากที่สุดกล่องละ 12 ชิ้น
✏️ แบบฝึกหัด — ทบทวนความจำ
1. จงหาตัวประกอบทั้งหมดของจำนวน 10
เฉลย
จำนวนที่หาร 10 ลงตัวมี 1, 2, 5, 10 ดังนั้นตัวประกอบทั้งหมดคือ 1, 2, 5, 10
2. จากจำนวนต่อไปนี้ 2, 9, 11, 15 จำนวนใดบ้างที่เป็นจำนวนเฉพาะ
เฉลย
จำนวนเฉพาะคือจำนวนที่มีตัวประกอบแค่ 1 กับตัวมันเอง คำตอบคือ 2 และ 11 (9 หารด้วย 3 ลงตัว, 15 หารด้วย 3, 5 ลงตัว)
3. จงแยกตัวประกอบของ 18 โดยวิธีการตั้งหารสั้น
เฉลย
นำ 2 ไปหาร 18 ได้ 9 นำ 3 ไปหาร 9 ได้ 3 สรุปการแยกตัวประกอบ 18 = 2 × 3 × 3
4. จงหา ห.ร.ม. ของจำนวน 16 และ 24
เฉลย
ตั้งหารด้วย 8 ได้ผลลัพธ์เป็น 2 และ 3 ห.ร.ม. คือตัวหารด้านหน้า ได้คำตอบคือ 8
5. จงหา ค.ร.น. ของจำนวน 6 และ 8
เฉลย
ตั้งหารด้วย 2 ได้ผลลัพธ์ 3 และ 4 นำมาคูณรูปตัว L: 2 × 3 × 4 = 24
6. ครูมีดินสอ 20 แท่งและยางลบ 30 ก้อน ต้องการแบ่งใสถุง ถุงละเท่าๆ กัน โดยไม่ปนกัน ให้ได้จำนวนถุงน้อยที่สุด (แต่ละถุงมีของมากที่สุด) จะแบ่งได้ถุงละกี่ชิ้น
เฉลย
หา ห.ร.ม. ของ 20 และ 30 นำ 10 ไปตั้งหาร ได้ผลลัพธ์เป็น 2 และ 3 ดังนั้น ห.ร.ม. = 10 ตอบ ถุงละ 10 ชิ้น
7. รถโดยสารสองสาย สายแรกออกทุก 15 นาที สายที่สองออกทุก 20 นาที ถ้ารถทั้งสองสายออกพร้อมกันตอนแรก จะออกพร้อมกันอีกครั้งในอีกกี่นาที
เฉลย
หา ค.ร.น. ของ 15 และ 20 นำ 5 ไปตั้งหาร ได้ 3 และ 4 คูณตัว L: 5 × 3 × 4 = 60 นาที
🎯 ทดสอบความเข้าใจ
ทำแบบทดสอบแบบเล่นทีละข้อ — มีเสียงครูอ่านโจทย์และเฉลยทุกข้อ กดเลือกแล้วรู้ผลทันทีพร้อมคำอธิบาย
▶ เริ่มทำแบบทดสอบ