หลักสูตร ‣ 🔢 คณิตศาสตร์ ป.5 ‣ การวัดและเรขาคณิต ‣ บทที่ 06
🔢 บทที่ 06 — เส้นขนาน
📘 การวัดและเรขาคณิต · ป.5
📋 ตัวชี้วัด: ค 2.2 ป.5 · เส้นขนาน สมบัติของมุมที่เกิดจากเส้นตัดขวาง
เส้นขนาน
การวัดและเรขาคณิต · บทที่ 06
🔊 ฟังครูเปิดบท สวัสดีจ้ะเด็กๆ บทนี้เราจะมาเรียนเรื่องเส้นขนาน และมุมที่เกิดจากเส้นตัดขวาง กันแบบเจาะลึกเลยนะจ๊ะ เส้นขนานคือเส้นตรงสองเส้นบนระนาบเดียวกันที่อยู่ห่างเท่ากันตลอด และไม่มีวันตัดกัน เด็ดขาด ไม่ว่าจะลากยาวไปแค่ไหนก็ตาม เมื่อมีเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งมาลากตัดผ่านเส้นขนานสองเส้นนั้น เราจะเรียกว่าเส้นตัดขวาง ซึ่งจะทำให้เกิดมุมต่างๆ ที่มีสมบัติพิเศษมากมาย ทั้งมุมแย้ง มุมภายใน มุมตรงข้าม ครูจะพาทำความรู้จักมุมแต่ละชนิดอย่างละเอียด และสอนวิธีคำนวณหาขนาดมุมไปพร้อมๆ กัน รับรองว่าสนุกแน่นอนจ้ะ
🎨 ภาพประกอบกำลังมา…เส้นขนานและมุมที่เกิดจากเส้นตัดขวาง
เส้นขนานและมุมที่เกิดจากเส้นตัดขวาง
📘 ๑. เส้นขนาน และสัญลักษณ์ที่ควรรู้ 🔊 ครูอธิบาย
เส้นขนาน คือเส้นตรงสองเส้นหรือส่วนของเส้นตรงสองเส้นบนระนาบเดียวกันที่มีระยะห่างเท่ากันเสมอ และไม่ตัดกัน ในทางคณิตศาสตร์ เราใช้สัญลักษณ์ // (ขีดเฉียงสองขีด) เพื่อเขียนแทนคำว่าขนานกับ ตัวอย่างเช่น เมื่อเราเขียนว่า ส่วนของเส้นตรง AB // ส่วนของเส้นตรง CD จะอ่านว่า ส่วนของเส้นตรง AB ขนานกับส่วนของเส้นตรง CD นั่นเองจ้ะ
📐 ๒. เส้นตัดขวาง และ สมบัติของมุมตรงข้าม 🔊 ครูอธิบาย
เมื่อมีเส้นตรงเส้นหนึ่งลากตัดผ่านเส้นตรงสองเส้น เราเรียกเส้นที่มาตัดนั้นว่า เส้นตัดขวาง บริเวณจุดที่ตัดกันจะเกิดมุมขึ้นมา 4 มุม โดยมุมที่อยู่ฝั่งตรงข้ามกัน เรียกว่า มุมตรงข้าม สมบัติสำคัญที่ต้องจำให้แม่นคือ: มุมตรงข้าม จะมีขนาดเท่ากันเสมอ ไม่ว่าเส้นตรงคู่แรกจะขนานกันหรือไม่ก็ตาม
🔀 ๓. สมบัติของ มุมแย้ง ที่เกิดจากเส้นขนาน 🔊 ครูอธิบาย
มุมแย้ง คือมุมที่อยู่สลับข้างกันของเส้นตัดขวาง และอยู่ระหว่างเส้นขนานทั้งสองเส้น สมบัติสำคัญคือ: ถ้าเส้นตรงคู่หนึ่งขนานกัน มุมแย้งที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากันเสมอ ตัวอย่างเช่น ถ้ารู้ว่ามุมแย้งมุมหนึ่งกาง 60° มุมแย้งของมันที่อยู่อีกฝั่งก็จะกาง 60° เท่ากันพอดีเป๊ะเลยจ้ะ
➕ ๔. สมบัติของ มุมภายในบนข้างเดียวกัน 🔊 ครูอธิบาย
มุมภายในบนข้างเดียวกัน ของเส้นตัดขวาง คือมุมที่อยู่ฝั่งเดียวกันของเส้นตัด และอยู่ด้านในระหว่างเส้นขนาน สมบัติสำคัญคือ: ผลบวกของมุมภายในบนข้างเดียวกัน จะต้องรวมกันได้ 180° เสมอ ดังนั้น ถ้ารู้ว่ามุมหนึ่งกาง 110° เราสามารถหาอีกมุมได้โดยนำ 180 ไปลบมุมที่รู้ เช่น 180 - 110 = 70°
🔍 ๕. การตรวจสอบการขนานกันของเส้นตรง 🔊 ครูอธิบาย
เราสามารถนำสมบัติของมุมทั้งหลายมาใช้เพื่อ ตรวจสอบว่าเส้นตรงสองเส้นนั้นขนานกันจริงหรือไม่ ได้ด้วย วิธีที่ 1 วัดมุมแย้ง: ถ้ามุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แสดงว่าเส้นตรงขนานกัน วิธีที่ 2 วัดมุมภายในข้างเดียวกัน: ถ้านำมาบวกกันแล้วรวมกันได้ 180° พอดี แสดงว่าขนานกัน ถ้าผลที่ได้ไม่ตรงตามนี้ แสดงว่าเส้นตรงสองเส้นนั้นไม่ขนานกันนะจ๊ะ
🧮 ตัวอย่างที่ 1 — หามุมแย้งและมุมตรงข้ามจากการตัดเส้นขนาน
กำหนดให้เส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD และมีเส้นตรง EF เป็นเส้นตัดขวาง ทำให้เกิด มุมที่หนึ่งมีขนาด 65° จงหาขนาดของมุมแย้ง และมุมตรงข้ามของมุมที่หนึ่ง พร้อมบอกเหตุผลประกอบ
ขั้น 1 — วิเคราะห์สิ่งที่โจทย์ถามอย่างละเอียด โจทย์กำหนดว่าเส้นขนานกัน และมีมุมกาง 65° ต้องการทราบขนาดของ มุมแย้ง และ มุมตรงข้าม
ขั้น 2 — นำสมบัติของมุมแย้งมาใช้ จากสมบัติที่ว่า เมื่อเส้นตรงขนานกันมุมแย้งที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากัน เสมอ
ขั้น 3 — สรุปขนาดของมุมแย้ง มุมที่หนึ่งมีขนาด 65° ดังนั้น มุมแย้งก็ต้องมีขนาดเท่ากัน คือ 65°
ขั้น 4 — นำสมบัติของมุมตรงข้ามมาใช้ สมบัติของมุมตรงข้ามที่เกิดจากจุดตัดจะมีขนาดเท่ากันเสมอ
ขั้น 5 — หาขนาดมุมตรงข้ามและสรุปคำตอบ มุมที่หนึ่งกาง 65° มุมตรงข้ามจึงกาง 65° ด้วย สรุปว่าทั้งมุมแย้งและมุมตรงข้าม กาง 65° ✅ ตอบ มุมแย้ง = 65° และ มุมตรงข้าม = 65°
▶ ทีละขั้น แสดงทั้งหมด ↺ เริ่มใหม่
🧮 ตัวอย่างที่ 2 — การคำนวณมุมภายในบนข้างเดียวกัน
เส้นตรงสองเส้นขนานกัน มีเส้นตัดขวางลากผ่านจนเกิดเป็นมุมภายใน โดยมุมภายในมุมหนึ่งกาง 115° จงหาว่ามุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดอีกมุมหนึ่งจะกางกี่องศา
ขั้น 1 — ทบทวนสมบัติมุมภายในบนข้างเดียวกัน สมบัติสำคัญคือ มุมภายในบนข้างเดียวกันของเส้นตัด ผลบวกจะต้องได้ 180° เสมอ
ขั้น 2 — เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ มุมที่ทราบค่า + มุมที่ไม่ทราบค่า = 180° จะได้ 115° + มุมที่สอง = 180°
ขั้น 3 — จัดรูปสมการเพื่อหาอีกมุม ย้าย 115 ไปลบ มุมที่สอง = 180° - 115°
ขั้น 4 — คำนวณตัวเลข 180 - 115 = 65
ขั้น 5 — สรุปคำตอบพร้อมหน่วย มุมภายในอีกมุมหนึ่งกาง 65° ✅ ตอบ มุมภายในอีกมุมหนึ่งกาง 65°
▶ ทีละขั้น แสดงทั้งหมด ↺ เริ่มใหม่
🧮 ตัวอย่างที่ 3 — ตรวจสอบว่าเส้นตรงขนานกันหรือไม่
นักเรียนคนหนึ่งลากเส้นตรงสองเส้น แล้วใช้เส้นตัดขวางลากผ่าน เมื่อใช้ไม้โปรแทรกเตอร์วัดขนาดมุมภายในบนข้างเดียวกันได้ 105° และ 75° ตามลำดับ จงพิจารณาว่าเส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกันหรือไม่ เพราะเหตุใด
ขั้น 1 — ทำความเข้าใจเงื่อนไขของเส้นขนาน หลักการคือ ถ้าเส้นตรงขนานกัน มุมภายในบนข้างเดียวกัน ผลรวมจะต้องได้ 180° พอดีเป๊ะ
ขั้น 2 — ระบุมุมที่โจทย์กำหนดให้ จากโจทย์ มุมที่วัดได้มี 2 มุม คือ 105° และ 75°
ขั้น 3 — หาผลบวกของมุมภายใน นำมุมทั้งสองมาบวกกันเพื่อทดสอบ 105 + 75 = ?
ขั้น 4 — คำนวณผลบวกที่ได้ 105 + 75 = 180°
ขั้น 5 — สรุปผลการตรวจสอบ ผลบวกมุมภายในข้างเดียวกันได้ 180° ดังนั้น เส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน ✅ ตอบ เส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน เพราะผลบวกมุมภายในได้ 180°
▶ ทีละขั้น แสดงทั้งหมด ↺ เริ่มใหม่
✏️ แบบฝึกหัด — ทบทวนความจำ
1. สัญลักษณ์ใดที่ใช้แทนคำว่า 'ขนานกับ' ในทางคณิตศาสตร์สากล
เฉลย ใช้เครื่องหมาย // (ขีดเฉียงสองขีด) เช่น AB // CD 🔊 ครูเฉลย
2. จงอธิบายสมบัติระยะห่างของเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกัน
เฉลย เส้นตรงที่ขนานกันจะมีระยะห่างระหว่างเส้นเท่ากันเสมอ จึงไม่มีวันตัดกัน 🔊 ครูเฉลย
3. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และถูกลากตัดด้วยเส้นตัดขวาง มุมแย้งที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากันหรือไม่ เพราะเหตุใด
เฉลย เท่ากันเสมอ เพราะเป็นสมบัติสำคัญของเส้นขนานและเส้นตัดขวาง 🔊 ครูเฉลย
4. มีเส้นตัดขวางตัดผ่านเส้นขนานคู่หนึ่ง เกิดมุมแย้งขนาด 82° มุมแย้งอีกมุมที่อยู่ฝั่งตรงข้ามจะมีขนาดกี่องศา
เฉลย มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน มุมอีกฝั่งจึงมีขนาด 82° 🔊 ครูเฉลย
5. เส้นขนานคู่หนึ่งถูกตัดด้วยเส้นตัดขวาง ทำให้เกิดมุมภายในบนข้างเดียวกันมุมหนึ่งกาง 110° อีกมุมหนึ่งจะกางกี่องศา
เฉลย 180 - 110 = 70° เพราะผลบวกมุมภายในบนข้างเดียวกันต้องได้ 180° 🔊 ครูเฉลย
6. เด็กชายเอกวาดเส้นตรงสองเส้นบนกระดาษ แล้วลากเส้นตัดขวางผ่านเส้นตรงทั้งสอง เมื่อวัดขนาดมุมภายในบนข้างเดียวกันได้ 95° และ 80° อยากทราบว่าเส้นตรงสองเส้นที่เอกวาดนั้นขนานกันหรือไม่
เฉลย ขั้น 1 หาผลบวกมุมภายใน: 95 + 80 = 175° ขั้น 2 สรุปผล: ผลบวกไม่ถึง 180° แสดงว่าเส้นตรงสองเส้นนี้ ไม่ขนานกัน 🔊 ครูเฉลย
7. ถนนสาย A และสาย B ขนานกันเป็นแนวตรง มีถนนสาย C ลากผ่านข้ามถนนทั้งสองเส้น ทำให้เกิดมุมแย้งคู่หนึ่ง โดยมุมแย้งมุมแรกมีขนาด 125° และเกิดมุมภายในบนข้างเดียวกันกับมุมแย้งนั้น จงหาขนาดของมุมภายในอีกมุมหนึ่ง
เฉลย ขั้น 1 หามุมแย้งอีกฝั่ง: เนื่องจากเส้นขนานกัน มุมแย้งจะเท่ากัน คือ 125° ขั้น 2 หามุมภายในบนข้างเดียวกัน: นำ 180 - 125 = 55° 🔊 ครูเฉลย
🎯 ทดสอบความเข้าใจ
ทำแบบทดสอบแบบเล่นทีละข้อ — มีเสียงครูอ่านโจทย์และเฉลย ทุกข้อ กดเลือกแล้วรู้ผลทันทีพร้อมคำอธิบาย
▶ เริ่มทำแบบทดสอบ