หลักสูตร ‣ 🔢 คณิตศาสตร์ ป.6 ‣ จำนวนและพีชคณิต ‣ บทที่ 01
🔢 บทที่ 01 — ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
📘 จำนวนและพีชคณิต · ป.6
📋 ตัวชี้วัด: ค 1.1 ป.6 · หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนนับ และนำไปใช้แก้ปัญหา
ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
จำนวนและพีชคณิต · บทที่ 01
ยินดีต้อนรับสู่บทเรียนแรกของ ป.6 จ้ะ บทนี้เราจะยกระดับความรู้เรื่อง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ให้เข้มข้นขึ้น
เราจะฝึกหาค่าของ 3 จำนวนพร้อมกัน และเรียนรู้เทคนิคการเขียนแยกตัวประกอบในรูปเลขยกกำลัง นอกจากนี้เราจะได้เรียนรู้ ความสัมพันธ์พิเศษ ระหว่าง ห.ร.ม. กับ ค.ร.น. และที่สำคัญที่สุดคือ การนำ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปประยุกต์ใช้ในการทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ และการหาตัวส่วนร่วมเพื่อบวกลบเศษส่วนด้วยจ้ะ
🔍 ๑. ทบทวนการแยกตัวประกอบ และเลขยกกำลัง
การแยกตัวประกอบที่รวดเร็วที่สุดคือการตั้งหารสั้น โดยใช้ จำนวนเฉพาะ เป็นตัวหารไปเรื่อยๆ จนกว่าผลลัพธ์จะเป็นจำนวนเฉพาะ
ในชั้น ป.6 เราจะนำตัวเลขที่ซ้ำกันมาเขียนในรูปของ เลขยกกำลัง เพื่อความกระชับ เช่น 72 แยกตัวประกอบได้เป็น 2 × 2 × 2 × 3 × 3
มี 2 คูณกัน 3 ตัว เขียนเป็น 2³ และมี 3 คูณกัน 2 ตัว เขียนเป็น 3² ดังนั้น 72 = 2³ × 3² (หมายเหตุ: ในบทเรียนนี้เราจะยังเขียนแบบกระจายเพื่อให้เห็นภาพชัดเจนนะจ๊ะ)
⚖️ ๒. เทคนิคการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 3 จำนวน
การหาค่าของ 3 จำนวนพร้อมกันมีข้อควรระวังที่สำคัญมาก:
• ห.ร.ม.: ตัวหาร ต้องหารลงตัวทุกจำนวน (ทั้ง 3 ตัว) เท่านั้น ถ้าหารไม่ลงตัวทุกตัว ให้หยุดหารทันที
• ค.ร.น.: ตัวหารสามารถ หารลงตัวแค่ 2 จำนวน ก็ได้ ส่วนตัวที่หารไม่ลงตัวให้ ดึงชักลงมาตรงๆ จนกว่าจะไม่มีจำนวนเฉพาะใดหารลงตัวได้แม้แต่คู่เดียว แล้วค่อยนำตัวเลขมาคูณกันเป็นรูปตัว L
💡 ๓. ความสัมพันธ์มหัศจรรย์: ห.ร.ม. × ค.ร.น.
สำหรับจำนวนนับ 2 จำนวนใดๆ จะมีกฎตายตัวเสมอว่า:
ห.ร.ม. × ค.ร.น. = จำนวนที่หนึ่ง × จำนวนที่สอง (หรือผลคูณของสองจำนวนนั้น)
กฎนี้มีประโยชน์มากในการหาค่าที่หายไป เช่น ถ้าเรารู้ผลคูณของสองจำนวน และรู้ค่า ห.ร.ม. เราสามารถหา ค.ร.น. ได้ทันทีโดยนำผลคูณนั้นมาหารด้วย ห.ร.ม. หรือในทางกลับกัน
🚀 ๔. โจทย์ปัญหาที่ใช้ทั้ง ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
ในข้อสอบบางข้อ อาจมีการทดสอบความเข้าใจทั้งสองเรื่องในข้อเดียวกัน
เช่น การให้หา ผลต่าง หรือ ผลรวม ระหว่างค่า ค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของกลุ่มตัวเลขที่กำหนด หรือโจทย์ที่มีสองสถานการณ์ซ้อนกัน เช่น จัดกลุ่มคนให้ได้กลุ่มใหญ่ที่สุด (ห.ร.ม.) แล้วให้กลุ่มเหล่านั้นทำกิจกรรมที่ใช้รอบเวลาต่างกันเพื่อหาเวลาที่เสร็จพร้อมกัน (ค.ร.น.)
🧩 ๕. ห.ร.ม. และ ค.ร.น. กับเศษส่วน
ความรู้เรื่อง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. เป็นเครื่องมือสำคัญในการจัดการกับเศษส่วน:
• ห.ร.ม.: นำมาใช้ ทอนเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ โดยหา ห.ร.ม. ของตัวเศษและตัวส่วน แล้วนำมาหารทั้งบนและล่างในครั้งเดียว
• ค.ร.น.: นำมาใช้ หาตัวส่วนร่วม ในการบวกและลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากัน โดยหา ค.ร.น. ของตัวส่วนทั้งหมด แล้วแปลงตัวส่วนให้เท่ากับ ค.ร.น. นั้น
🧮 ตัวอย่างที่ 1 — การหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 3 จำนวน
จงหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวน 36, 48 และ 72 ด้วยการตั้งหารสั้น
ขั้น 1 — เริ่มตั้งหารสั้นสำหรับ ห.ร.ม.นำ 36, 48, 72 มาตั้งหาร
เป็นเลขคู่ ใช้ แม่ 2 หารทุกตัว
ขั้น 2 — ดำเนินการหารต่อไปหารด้วย 2 เหลือ 18, 24, 36
ใช้ แม่ 2 หารอีก เหลือ 9, 12, 18
ขั้น 3 — หารจนกว่าจะไม่สามารถหารได้ทุกตัวใช้ แม่ 3 หารต่อ เหลือ 3, 4, 6
ไม่มีตัวใดหาร 3, 4, 6 ได้พร้อมกันแล้ว
ขั้น 4 — ดำเนินการหารต่อเพื่อหา ค.ร.น.จาก 3, 4, 6 ค.ร.น. ให้หารต่อได้ถ้าระบุได้ 2 ตัว
ใช้ แม่ 3 หาร 3 และ 6 (ดึง 4 ลงมา)
ขั้น 5 — หารต่อจนจบและสรุป ค.ร.น.จาก 1, 4, 2 ใช้ แม่ 2 หาร 4 กับ 2 เหลือ 1, 2, 1
ค.ร.น. = 2×2×3×3×2×2 = 144✅ ตอบ ห.ร.ม. = 12 และ ค.ร.น. = 144
🧮 ตัวอย่างที่ 2 — ความสัมพันธ์ของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
จำนวนนับสองจำนวน มีผลคูณของสองจำนวนนี้เท่ากับ 1,728 ถ้า ห.ร.ม. ของสองจำนวนนี้คือ 12 จงหาค่าของ ค.ร.น.
ขั้น 1 — ระบุความสัมพันธ์ผลคูณของสองจำนวน
= ห.ร.ม. × ค.ร.น.
ขั้น 2 — แทนค่าจากโจทย์โจทย์ให้ผลคูณ = 1,728 และ ห.ร.ม. = 12
1,728 = 12 × ค.ร.น.
ขั้น 3 — ตั้งสมการหาค่า ค.ร.น.ย้าย 12 ไปหาร
ค.ร.น. = 1,728 ÷ 12
ขั้น 4 — คำนวณการหารตั้งหาร 1728 ด้วย 12
12 × 1 = 12, 12 × 4 = 48...
ขั้น 5 — สรุปคำตอบ1,728 ÷ 12 = 144✅ ตอบ ค.ร.น. ของสองจำนวนนี้คือ 144
🧮 ตัวอย่างที่ 3 — โจทย์ปัญหาประยุกต์ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
จงหาผลต่างระหว่าง ค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของจำนวน 45, 60 และ 75
ขั้น 1 — วิเคราะห์สิ่งที่ต้องหาต้องหา 3 อย่าง:
1. ห.ร.ม. 2. ค.ร.น. 3. นำมาลบกัน
ขั้น 2 — ตั้งหารเพื่อหา ห.ร.ม.นำ 45, 60, 75 ใช้ แม่ 5 ได้ 9, 12, 15
ใช้ แม่ 3 ได้ 3, 4, 5
ขั้น 3 — สรุปค่า ห.ร.ม.ห.ร.ม. = 5 × 3 = 15
ขั้น 4 — หา ค.ร.น. จากผลลัพธ์เดิมจากผลลัพธ์ 3, 4, 5 ไม่มีคู่ใดหารได้อีก
ค.ร.น. = 15 × 3 × 4 × 5 = 900
ขั้น 5 — หาผลต่างผลต่าง = ค.ร.น. - ห.ร.ม.
= 900 - 15 = 885✅ ตอบ ผลต่างคือ 885
✏️ แบบฝึกหัด — ทบทวนความจำ
1. จงเขียน 120 ในรูปการแยกตัวประกอบโดยใช้เลขยกกำลัง
เฉลย
นำ 120 ตั้งหารสั้น ได้ 2 × 2 × 2 × 3 × 5 เขียนเป็นเลขยกกำลังได้ 2³ × 3 × 5 (อ่านว่า สองยกกำลังสาม คูณสาม คูณห้า)
2. จงหา ห.ร.ม. ของ 27, 45 และ 63
เฉลย
นำแม่ 9 หาร ได้ผลลัพธ์ 3, 5, 7 ซึ่งหารต่อพร้อมกันไม่ได้แล้ว ดังนั้น ห.ร.ม. = 9
3. จงหา ค.ร.น. ของ 27, 45 และ 63
เฉลย
จากข้อเมื่อกี้ ผลลัพธ์ 3, 5, 7 หารต่อไม่ได้ ค.ร.น. = 9 × 3 × 5 × 7 = 945
4. ถ้า ห.ร.ม. ของเลขสองจำนวนคือ 5 และ ค.ร.น. คือ 100 และเลขจำนวนหนึ่งคือ 20 อีกจำนวนคืออะไร
เฉลย
ผลคูณ = 5 × 100 = 500 อีกจำนวนคือ 500 ÷ 20 = 25
5. ร้านค้าต้องการแบ่งข้าวสาร 3 กระสอบ น้ำหนัก 36, 60 และ 84 กิโลกรัม ใส่ถุง ถุงละเท่าๆ กันและหนักที่สุด จะได้ถุงละกี่กิโลกรัม
เฉลย
โจทย์หา ห.ร.ม. นำ 12 ไปหาร 36, 60, 84 ได้ผลลัพธ์ 3, 5, 7 หารต่อไม่ได้ ห.ร.ม. = 12 กิโลกรัม
6. รถเมล์ 3 สาย ออกวิ่งทุกๆ 30, 40 และ 60 นาที ถ้าออกพร้อมกันตอน 6.00 น. จะออกพร้อมกันอีกครั้งเวลาใด
เฉลย
หา ค.ร.น. ได้เท่ากับ 120 นาที (เท่ากับ 2 ชั่วโมง) นับจาก 6.00 น. ไปอีก 2 ชม. คือเวลา 8.00 น.
7. จงหาเศษส่วนอย่างต่ำของ
150225 โดยใช้ ห.ร.ม.
เฉลย
หา ห.ร.ม. ของ 150 และ 225 ได้ 75 นำ 75 ไปหารทั้งเศษและส่วน จะได้ 23
🎯 ทดสอบความเข้าใจ
ทำแบบทดสอบแบบเล่นทีละข้อ — มีเสียงครูอ่านโจทย์และเฉลยทุกข้อ กดเลือกแล้วรู้ผลทันทีพร้อมคำอธิบาย
▶ เริ่มทำแบบทดสอบ